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红黑树

概念

红黑树保证了最长的路径不超过最短路径的二倍

规则

1. 根节点是黑色的
2. 每个节点不是红色就是黑色
3. 如果有一个节点是红的，那么它的两个孩子都是黑的，就是说一条路径不会有两个连续的红色节点（不会出现红红，其他情况可以出现红黑，黑黑，黑红）
4. 对于每个节点到其空节点上的简单路径，每一条路径上都有相同数量的黑色节点

为什么最长路径不超过最短路径的二倍？

1. 最短路径就是全黑
2. 最长路径就是一黑一红的组合
3. 假设每条路径有x个黑色的节点
   最短：x
   最长：2*x
   这是最极端的场景
4. 其它的场景都在最短和最长之间
   比如下面这幅图：
   最短：3
   最长：4
   最长路径不超过最短路径的2倍
   

路径的条数（要算到走到空的场景）：9条路径

其它书里可能出现下面的图：
这样是为了计算路径的条数更加方便，防止算错
加了这样的空节点也不违反规则

红黑树的时间复杂度

假设节点个数为N
用极端的场景来算
红黑树最短路径的高度为：2^h-1 = N, h = log(N+1)
最长路径的高度为：2^2h-1 = N,h = (log(N+1))/2

其实最快可以近似为logN,最慢可以近似为2*logN，
整体上时间复杂度还是logN,只是没有AVL树那么接近logN

红黑树的结构

// 枚举红黑树的颜色
enum Colour
{RED,BLACK
};// 按Key/Value的模式实现
template<class K,class V>
class RBTreeNode
{pair<K, V> _kv;RBTreeNode<K, V>* _left;RBTreeNode<K, V>* _right;RBTreeNode<K, V>* _parent;Colour _col;RBTreeNode(const pair<K,V>& kv):_kv(kv),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr){}
};template<class K,class V>
class RBTree
{typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:private:Node* _root = nullptr;
};

插入

插入红色节点还是黑色节点呢？

• 插入红色节点可能违反规则3，红色节点的父亲可能是红色节点，父亲是黑色节点就不用管
• 插入时黑色节点必然会违反规则4，每条路径上都要有相同数量的黑色节点

1. 按二叉搜索树的规则插入，不违反上面的4条规则
2. 如果是空树插入，则插入黑色节点。如果是非空树插入，必然插入红色，因为黑色违反规则4
3. 插入红色节点，如果父亲是黑色节点，不违反规则，插入结束
4. 插入红色节点，如果父亲是红色节点，违反规则3。
   插入节点c必然是红色，父亲节点p也是红色，因为之前也要遵循红黑树的规则，所以爷爷节点g也要是黑色，是红色之前就违反规则了。所以c,p,g三个节点的颜色是固定的。
   先在关键看叔叔节点u了，u可以是红色，也可以是黑色，所以要分情况讨论叔叔节点的颜色。
   

叔叔节点情况的讨论

只变色(叔叔存在且为红)

1. c为红，p为红，g为黑，u存在且为红。将p变黑，因为红红违反了规则3，p必须变红。u也变黑，g变红。
2. 把g当做c继续向上更新，需要继续向上更新是因为如果g的父亲还是红色，就需要继续向上处理；如果g的父亲是黑色，就处理结束；如果g就是整棵树的根，再把g变为黑色。
   

抽象的情况

1. 叔叔存在且为红，（a和b是抽象出来的子树）a和b要满足下面的模版，爷爷的两个孩子都是红色，才满足只变色
   
2. 抽象的情况:
   
3. bh(black height),bh == 0
   
4. bh == 1
   
5. bh == 2
   

变色+单旋（叔叔不存在或叔叔存在且为黑）

p,c是红，g是黑，u不存在或者u存在且为黑

1. u不存在，c只能是新增节点（如果c不是新增节点的话，它只能是之前变色变过来的，那它之前就是黑色，黑色节点的数量就不对）。右旋，把父亲节点变黑，g变红
2. u存在且为黑，c一定不是新增（如果c是新增，那么新增前，黑色的数量不对），c之前就是黑色的，现在变成了红色，因为进行了变色。右旋，父亲变为黑色，爷爷变为红色
3. 不用继续往上更新，因为黑黑可以，红黑也可以，就不用管了。
   

变色+双旋（叔叔不存在或叔叔存在且为黑）

p,c是红，g是黑，u不存在或者u存在且为黑

1. u不存在，c只能是新增节点（如果c不是新增节点的话，它只能是之前变色变过来的，那它之前就是黑色，黑色节点的数量就不对）。
2. u存在且为黑，c一定不是新增（如果c是新增，那么新增前，黑色的数量不对），c之前就是黑色的，现在变成了红色，因为进行了变色。
3. 左单旋，然后右单旋，父亲节点不变色，cur节点由红色变成黑色，grandfather节点由黑色变成红色。不用继续往上更新，因为黑黑可以，红黑也可以，就不用管了。
   
   关键看叔叔

判断是不是红黑树

用4个规则进行判断，满足这四个规则就满足最长路径不超过最短路径的两倍。

1. 规则1枚举了颜色就实现了节点不是黑色就是红色
2. 规则2直接检查根的颜色是不是黑色就可以了
3. 规则3不能是连续的红色节点，遇到红色节点就检查孩子不太方便，如果孩子不存在就更不方便了，并且孩子可能有两个。但是检查父亲节点的颜色就方便多了，遇到红色节点就检查父亲节点的颜色。
4. 规则4是每条路径的黑色节点的数量必须相同。用前序遍历检查，用形参blacknum记录到当前节点的黑色节点的数量，遇到黑色节点就++，走到空就计算完一条路径的黑色节点的数量。用任意一条的黑色节点的数量作为参考值，依次比较。
   

// 判断红黑树是否平衡
bool IsBalance()
{// 根节点是空if (_root == nullptr)return true;// 根节点非空且是红色if (_root->_col == RED)return false;// 算出一条路径上黑色节点的个数作为参考值Node* cur = _root;// 参考值int blacknum = 0;while (cur){if (cur->_col == BLACK){++blacknum;}// 就走最左边的一条路径cur = cur->_left;}return Check(_root,0,blacknum);
}private:
bool Check(Node* root, int blacknum, const int refnum)
{// refnum参考值if (root == nullptr){// 当前路径走完了if (blacknum != refnum){cout << "存在黑色节点的数量不相等的路径" << endl;return false;}return true;}// 规则3if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED){cout << "存在连续两个红节点" << endl;return false;}if (root->_col == BLACK){++blacknum;}return Check(root->_left, blacknum, refnum) &&Check(root->_right, blacknum, refnum);
}

代码

#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;// 枚举红黑树的颜色
enum Colour
{RED,BLACK
};// 按Key/Value的模式实现
template<class K,class V>
struct RBTreeNode
{pair<K, V> _kv;RBTreeNode<K, V>* _left;RBTreeNode<K, V>* _right;RBTreeNode<K, V>* _parent;Colour _col;RBTreeNode(const pair<K,V>& kv):_kv(kv),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr){}
};template<class K,class V>
class RBTree
{typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{// 不冗余,插入失败return false;}}cur = new Node(kv);// 如果是非空树,插入红色节点cur->_col = RED;if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else if (parent->_kv.first > kv.first){parent->_left = cur;}// 链接父亲节点cur->_parent = parent;// parent是红色,出现了连续的红色节点,需要向上调整// 调整之后cur是根,cur的parent是nullptrwhile (parent&&parent->_col == RED){Node* grandfather = parent->_parent;if (grandfather->_left == parent){//   g// p     uNode* uncle = grandfather->_right;if (uncle && uncle->_col == RED){// 变色是为了处理连续的红节点,保证黑节点的数量不变,// 向上继续调整是因为grandfather的节点可能是黑节点就结束,// 可能是红节点就继续向上处理parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;// 继续向上处理cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else{// uncle不存在或uncle存在且为黑//   g// p     u// c// 右单旋if (cur == parent->_left){RotateR(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{// 双旋//   g// p   u// cRotateL(parent);RotateR(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}else{//   g// u     pNode* uncle = grandfather->_left;if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;// 继续向上更新cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else{// uncle不存在或者存在且是黑//    g// u     p//          c// 左单旋if (parent->_right == cur){RotateL(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{//     g//      u     p//          c// 双旋RotateR(parent);RotateL(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}}// 无论如何结束之后根都是黑色的_root->_col = BLACK;return true;}// 右单旋,旋转点是parentvoid RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;// b可能为空树if (subLR != nullptr)subLR->_parent = parent;// 记录parent的parentNode* pParent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;// 1. 10是这棵树的总根if (parent == _root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{// 2. 10是这棵树的局部根// pParent左可能是parent,右也可能是parentif (pParent->_left == parent){pParent->_left = subL;}else{pParent->_right = subL;}subL->_parent = pParent;}}// 左单旋,旋转点是parentvoid RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;// b不是空树if (subRL)subRL->_parent = parent;// 记录父亲节点的父亲节点Node* pParent = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;// 1. 10是这棵树的总根if (_root == parent){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{// 2. 10是这棵树的局部根if (pParent->_left == parent){pParent->_left = subR;}else{pParent->_right = subR;}subR->_parent = pParent;}}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}int Height(){return _Height(_root);}int Size(){return _Size(_root);}Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;}bool IsBalance(){// 根节点是空if (_root == nullptr)return true;// 根节点非空且是红色if (_root->_col == RED)return false;// 算出一条路径上黑色节点的个数作为参考值Node* cur = _root;// 参考值int blacknum = 0;while (cur){if (cur->_col == BLACK){++blacknum;}// 就走最左边的一条路径cur = cur->_left;}return Check(_root,0,blacknum);}private:bool Check(Node* root, int blacknum, const int refnum){// refnum参考值if (root == nullptr){// 当前路径走完了if (blacknum != refnum){cout << "存在黑色节点的数量不相等的路径" << endl;return false;}return true;}// 规则3if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED){cout << "存在连续两个红节点" << endl;return false;}if (root->_col == BLACK){++blacknum;}return Check(root->_left, blacknum, refnum) &&Check(root->_right, blacknum, refnum);}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;_InOrder(root->_right);}int _Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;}int _Size(Node* root){if (root == nullptr)return 0;return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;}private:Node* _root = nullptr;
};#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS#include"RBTree.h"void TestRBTree1()
{RBTree<int, int> t;// 常规的测试用例//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };// 特殊的带有双旋场景的测试用例int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };for (auto e : a){t.Insert({ e,e });}t.InOrder();cout << t.IsBalance() << endl;
}int main()
{TestRBTree1();return 0;
}