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1 排列permutation

排列，一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列(permutation)。特别地，当m=n时，这个排列被称作全排列(all permutation)。

注：当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同，则两个排列相同。例如，abc与abd的元素不完全相同，它们是不同的排列；又如abc与acb，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列

排列可分选排列与全排列两种，在从n个不同元素取出m个不同元素的排列种，当m<n时，这个排列称为选排列；当m=n时，这个排列称为全排列。

重复排列(permutationwith repetiton)是一种特殊的排列。从n个不同元素中可重复地选取m个元素。按照一定的顺序排成一列，称作从n个元素中取m个元素的可重复排列。当且仅当所取的元素相同，且元素的排列顺序也相同，则两个排列相同。

2 组合 combination

组合（combination）是一个数学名词。一般地，从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。我们把有关求组合的个数的问题叫作组合问题。

组合总数（total number of combinations）是一个正整数，指从n个不同元素里每次取出0个，1个，2个，…，n个不同元素的所有组合数的总和。

重复组合（combination with repetiton）是一种特殊的组合。从n个不同元素中可重复地选取m个元素。不管其顺序合成一组，称为从n个元素中取m个元素的可重复组合。当且仅当所取的元素相同，且同一元素所取的次数相同，则两个重复组合相同。

3 组合数（组合总数）的计算方法C#源代码

using System;namespace Legalsoft.Truffer
{public static partial class XMath{/// <summary>/// 计算组合数C(M,N) M>=N/// </summary>/// <param name="M"></param>/// <param name="N"></param>/// <returns></returns>public static int Combine(int M, int N){ulong ret = 1L;for (int i = M - N + 1; i <= M; i++){ret *= (ulong)i;}for (int i = 2; i <= N; i++){ret /= (ulong)i;}return (int)ret;}}
}

4 计算组合数的数据溢出问题

上述的代码，计算 C(12,5) 是没有问题的。但是，如果计算 C(100,50)！

结果 = 0 ！！！

这是因为太多的数相乘，超过了 ulong 允许的最大数，这就是数据超界的问题。

5 组合总数递归算法的C#源程序

namespace Legalsoft.Truffer
{public static partial class XMath{/// <summary>/// 计算组合数C(M,N) M>=N/// </summary>/// <param name="M"></param>/// <param name="N"></param>/// <returns></returns>public static int Combine_Recursion(int M, int N){if (M < N) return 0;if (M <= 0 || N <= 0) return 1;return Combine_Recursion(M - 1, N) + Combine_Recursion(M - 1, N - 1);}}
}

递归算法可解决数值溢出问题，但会带来堆栈溢出问题，可谓“按下葫芦浮起瓢”。

6 计算组合数的追溯法（BackTrack，亦称回溯法）C#源代码

using System;namespace Legalsoft.Truffer
{public static partial class XMath{private static int num = 0;private static ulong bestnum = 0L;/// <summary>/// 追溯法计算组合数/// </summary>/// <param name="M"></param>/// <param name="N"></param>/// <returns></returns>public static ulong Combine_Backtrack(int M, int N){num = 0;bestnum = 0L;BackTrack(1, M, N);return bestnum;}/// <summary>/// 内部递归函数/// </summary>/// <param name="k"></param>/// <param name="n"></param>/// <param name="m"></param>private static void BackTrack(int k, int n, int m){if (k > n){if (num == m){bestnum++;}}else{for (int i = 0; i <= 1; i++){if (i == 0){BackTrack(k + 1, n, m);}else{if (num <= m){num = num + 1;BackTrack(k + 1, n, m);num = num - 1;}}}}}}
}

世界上没有十全十美的人，也没有十全十美的事！

回溯算法同样存在大问题，而且是致命问题：

（1）计算效率太低，速度太慢！

（2）另外会导致堆栈溢出问题。

大数的组合 有其他计算方法，以后再介绍。

本文暂且做个了解。