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一、常用排序说明

        当涉及排序算法时，理解每个算法的工作原理、时间复杂度和空间复杂度是至关重要的。下面对常用排序算法进行详细说明：     

        1、冒泡排序（Bubble Sort）：

        工作原理：比较相邻的元素并交换，每一轮将最大（或最小）的元素移动到数组末尾（或开头）。

        时间复杂度：平均情况和最坏情况均为 O(n^2)。

        空间复杂度：O(1)，原地排序，不需要额外空间。

        适用场景：适用于小规模数据集，对稳定性要求高的场景，或者作为教学和理解排序算法的基础。

        2、选择排序（Selection Sort）：

        工作原理：每一轮选择最小（或最大）的元素放在已排序序列的末尾（或开头）。

        时间复杂度：平均情况和最坏情况均为 O(n^2)。

        空间复杂度：O(1)，原地排序，不需要额外空间。

        适用场景：适用于小规模数据集，简单易实现，但性能较差。对稳定性要求不高的场景。

        3、插入排序（Insertion Sort）：

        工作原理：将未排序序列中的元素逐个插入到已排序序列中的适当位置。

        时间复杂度：平均情况和最坏情况均为 O(n^2)。

        空间复杂度：O(1)，原地排序，不需要额外空间。

        适用场景：适用于小规模或基本有序的数据集，对稳定性要求高的场景，用于改进其他排序算法的一部分。

        4、希尔排序（Shell Sort）：

        工作原理：是插入排序的改进版，通过比较距离较远的元素进行交换，最终使数据基本有序，然后再使用插入排序。

        时间复杂度：取决于增量序列的选择，在实践中介于 O(n log^2 n) 和 O(n^2) 之间。

        空间复杂度：O(1)，原地排序，不需要额外空间。

        适用场景：适用于小规模或基本有序的数据集，对稳定性要求高的场景，用于改进其他排序算法的一部分。

        5、归并排序（Merge Sort）：

        工作原理：采用分治法，将数组分成两半，分别排序，然后合并两个有序数组。

        时间复杂度：平均情况和最坏情况均为 O(n log n)。

        空间复杂度：O(n)，需要额外的内存来存储临时数组。

        适用场景：适用于小规模或基本有序的数据集，对稳定性要求高的场景，用于改进其他排序算法的一部分。

        6、快速排序（Quick Sort）：

        工作原理：采用分治法，选取一个基准值，将小于基准值的放在左边，大于基准值的放在右边，然后递归地对左右两部分进行排序。

        时间复杂度：平均情况为 O(n log n)，最坏情况为 O(n^2)。

        空间复杂度：取决于实现方式，通常为 O(log n)。

        适用场景：适用于大规模数据集，性能优秀且易于实现。常用于实际生产环境中的排序需求。

        7、堆排序（Heap Sort）：

        工作原理：利用堆的性质（最大堆或最小堆），将待排序数组构建成堆，然后每次取出堆顶元素，重新调整堆，直至完成排序。

        时间复杂度：平均情况和最坏情况均为 O(n log n)。

        空间复杂度：O(1)，原地排序，不需要额外空间。

        适用场景：适用于大规模数据集，性能稳定且不受输入数据分布情况影响。适合内存受限的情况下进行排序。

        8、计数排序（Counting Sort）：

        工作原理：统计待排序数组中每个元素出现的次数，然后根据元素的值将其放到正确的位置。

        时间复杂度：平均情况和最坏情况均为 O(n + k)，其中 k 是非负整数的最大值。

        空间复杂度：O(n + k)，需要额外空间来存储计数数组和输出数组。

        适用场景：适用于输入数据的范围相对较小，但数量较大的情况下，可以快速排序。对数字的频率进行统计。

        9、桶排序（Bucket Sort）：

        工作原理：将待排序数据分到有限数量的桶里，每个桶再分别进行排序，最后合并所有桶的结果。

        时间复杂度：平均情况为 O(n + k)，最坏情况为 O(n^2)。

        空间复杂度：O(n + k)，需要额外空间来存储计数数组和输出数组。

        适用场景：适用于数据均匀分布在一个范围内的情况下，将数据分到多个桶中，然后对每个桶单独进行排序。

        10、基数排序（Radix Sort）：

        工作原理：根据数字位进行排序，先按个位排序，再按十位排序，依次类推，直到最高位排序完成。

        时间复杂度：平均情况和最坏情况均为 O(d * (n + k))，其中 d 是数字位数，k 是基数（如 10 进制中的 10）。

        空间复杂度：O(n + k)，需要额外空间来存储计数数组和输出数组。

        适用场景：适用于对数字进行排序的场景通过按位进行排序，每次排序根据数字位数来确定，效率高且稳定。

二、时间复杂度说明

        O(1)：常数时间复杂度。无论输入规模的大小如何，算法的执行时间都是固定的。例如，访问数组中的一个元素，计算数组的长度等。无论数组中有多少个元素，时间都是恒定的。

        O(log n)：对数时间复杂度。算法的执行时间与输入规模的对数成正比。典型的例子是二分查找算法。在一个有序数组中查找一个元素时，每次都将搜索空间减半，因此时间复杂度为对数级别。

        O(n)：线性时间复杂度。算法的执行时间与输入规模成正比，呈线性增长。例如，遍历数组或链表中的所有元素。如果一个数组有 n 个元素，那么对每个元素的访问将花费 O(n) 的时间。

        O(n log n)：线性对数时间复杂度。典型的例子是快速排序和归并排序等基于比较的排序算法。这些算法的执行时间与输入规模的对数乘以线性成正比。

        O(n^2)：平方时间复杂度。算法的执行时间与输入规模的平方成正比。例如，嵌套循环的排序算法（如冒泡排序、选择排序），每个元素都需要与其他元素比较。

        O(2^n)：指数时间复杂度。通常出现在递归算法中，每次递归都会产生指数级别的子问题。例如，求解所有可能的子集或排列问题。

        O(n!)：阶乘时间复杂度。通常出现在全排列等组合问题中，需要计算所有可能的排列。例如，求解 n 个元素的所有排列可能性的问题。

三、空间复杂度说明

        O(1)：常数空间复杂度。算法的额外空间使用是一个固定的常数，与输入规模无关。例如，原地排序算法，如冒泡排序、选择排序，不需要额外的空间。

        O(log n)：对数空间复杂度。算法的额外空间使用与输入规模的对数成正比。例如，递归算法每次调用都会消耗对数级别的栈空间。二分搜索的递归版本就是一个典型的例子。

        O(n)：线性空间复杂度。算法的额外空间使用与输入规模成正比，呈线性增长。例如，需要一个与输入规模相同大小的数组来存储数据，或者使用一个辅助数组来进行排序。

        O(n^2)：平方空间复杂度。算法的额外空间使用与输入规模的平方成正比。例如，使用一个二维数组来存储所有可能的组合情况。

        O(2^n)：指数空间复杂度。算法的额外空间使用与输入规模的指数成正比。通常出现在递归的指数增长情况下，例如，子集生成问题。

        O(n!)：阶乘空间复杂度。算法的额外空间使用与输入规模的阶乘成正比。通常出现在全排列等组合问题中，需要存储所有可能的排列。

四、代码样例

(一) 冒泡排序（Bubble Sort）

#include <iostream>
using namespace std;void bubbleSort(int arr[], int n) {for (int i = 0; i < n-1; i++) {for (int j = 0; j < n-i-1; j++) {if (arr[j] > arr[j+1]) {swap(arr[j], arr[j+1]);}}}
}int main() {int arr[] = {64, 34, 25, 12, 22, 11, 90};int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);bubbleSort(arr, n);cout << "Sorted array: ";for (int i = 0; i < n; i++) {cout << arr[i] << " ";}cout << endl;return 0;
}

(二) 选择排序（Selection Sort）

#include <iostream>
using namespace std;void selectionSort(int arr[], int n) {for (int i = 0; i < n-1; i++) {int min_idx = i;for (int j = i+1; j < n; j++) {if (arr[j] < arr[min_idx]) {min_idx = j;}}swap(arr[i], arr[min_idx]);}
}int main() {int arr[] = {64, 34, 25, 12, 22, 11, 90};int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);selectionSort(arr, n);cout << "Sorted array: ";for (int i = 0; i < n; i++) {cout << arr[i] << " ";}cout << endl;return 0;
}

(三) 插入排序（Insertion Sort）

#include <iostream>
using namespace std;void insertionSort(int arr[], int n) {for (int i = 1; i < n; i++) {int key = arr[i];int j = i - 1;while (j >= 0 && arr[j] > key) {arr[j+1] = arr[j];j--;}arr[j+1] = key;}
}int main() {int arr[] = {64, 34, 25, 12, 22, 11, 90};int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);insertionSort(arr, n);cout << "Sorted array: ";for (int i = 0; i < n; i++) {cout << arr[i] << " ";}cout << endl;return 0;
}

(四) 希尔排序（Shell Sort）

#include <iostream>
using namespace std;void shellSort(int arr[], int n) {for (int gap = n/2; gap > 0; gap /= 2) {for (int i = gap; i < n; i++) {int temp = arr[i];int j;for (j = i; j >= gap && arr[j - gap] > temp; j -= gap) {arr[j] = arr[j - gap];}arr[j] = temp;}}
}int main() {int arr[] = {64, 34, 25, 12, 22, 11, 90};int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);shellSort(arr, n);cout << "Sorted array: ";for (int i = 0; i < n; i++) {cout << arr[i] << " ";}cout << endl;return 0;
}

(五) 归并排序（Merge Sort）

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;void merge(vector<int>& arr, int l, int m, int r) {int n1 = m - l + 1;int n2 = r - m;vector<int> L(n1), R(n2);for (int i = 0; i < n1; i++)L[i] = arr[l + i];for (int j = 0; j < n2; j++)R[j] = arr[m + 1 + j];int i = 0, j = 0, k = l;while (i < n1 && j < n2) {if (L[i] <= R[j]) {arr[k] = L[i];i++;} else {arr[k] = R[j];j++;}k++;}while (i < n1) {arr[k] = L[i];i++;k++;}while (j < n2) {arr[k] = R[j];j++;k++;}
}void mergeSort(vector<int>& arr, int l, int r) {if (l < r) {int m = l + (r - l) / 2;mergeSort(arr, l, m);mergeSort(arr, m + 1, r);merge(arr, l, m, r);}
}int main() {vector<int> arr = {64, 34, 25, 12, 22, 11, 90};int n = arr.size();mergeSort(arr, 0, n - 1);cout << "Sorted array: ";for (int i = 0; i < n; i++)cout << arr[i] << " ";cout << endl;return 0;
}

(六) 快速排序（Quick Sort）

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;int partition(vector<int>& arr, int low, int high) {int pivot = arr[high];int i = low - 1;for (int j = low; j < high; j++) {if (arr[j] < pivot) {i++;swap(arr[i], arr[j]);}}swap(arr[i + 1], arr[high]);return i + 1;
}void quickSort(vector<int>& arr, int low, int high) {if (low < high) {int pi = partition(arr, low, high);quickSort(arr, low, pi - 1);quickSort(arr, pi + 1, high);}
}int main() {vector<int> arr = {64, 34, 25, 12, 22, 11, 90};int n = arr.size();quickSort(arr, 0, n - 1);cout << "Sorted array: ";for (int i = 0; i < n; i++)cout << arr[i] << " ";cout << endl;return 0;
}

(七) 堆排序（Heap Sort）

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;void heapify(vector<int>& arr, int n, int i) {int largest = i;int l = 2 * i + 1;int r = 2 * i + 2;if (l < n && arr[l] > arr[largest])largest = l;if (r < n && arr[r] > arr[largest])largest = r;if (largest != i) {swap(arr[i], arr[largest]);heapify(arr, n, largest);}
}void heapSort(vector<int>& arr) {int n = arr.size();for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)heapify(arr, n, i);for (int i = n - 1; i > 0; i--) {swap(arr[0], arr[i]);heapify(arr, i, 0);}
}int main() {vector<int> arr = {64, 34, 25, 12, 22, 11, 90};int n = arr.size();heapSort(arr);cout << "Sorted array: ";for (int i = 0; i < n; i++)cout << arr[i] << " ";cout << endl;return 0;
}

(八) 计数排序（Counting Sort）

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;void countingSort(vector<int>& arr) {int n = arr.size();int maxVal = *max_element(arr.begin(), arr.end());int minVal = *min_element(arr.begin(), arr.end());int range = maxVal - minVal + 1;vector<int> count(range), output(n);for (int i = 0; i < n; i++)count[arr[i] - minVal]++;for (int i = 1; i < range; i++)count[i] += count[i - 1];for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {output[count[arr[i] - minVal] - 1] = arr[i];count[arr[i] - minVal]--;}for (int i = 0; i < n; i++)arr[i] = output[i];
}int main() {vector<int> arr = {64, 34, 25, 12, 22, 11, 90};countingSort(arr);cout << "Sorted array: ";for (int i = 0; i < arr.size(); i++)cout << arr[i] << " ";cout << endl;return 0;
}

(九) 桶排序（Bucket Sort）

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;void bucketSort(vector<float>& arr) {int n = arr.size();vector<vector<float>> buckets(n);for (int i = 0; i < n; i++) {int bucketIndex = n * arr[i];buckets[bucketIndex].push_back(arr[i]);}for (int i = 0; i < n; i++)sort(buckets[i].begin(), buckets[i].end());int index = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {for (float num : buckets[i]) {arr[index++] = num;}}
}int main() {vector<float> arr = {0.64, 0.34, 0.25, 0.12, 0.22, 0.11, 0.90};bucketSort(arr);cout << "Sorted array: ";for (int i = 0; i < arr.size(); i++)cout << arr[i] << " ";cout << endl;return 0;
}

(十) 基数排序（Radix Sort）

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;int getMax(vector<int>& arr) {int maxVal = arr[0];for (int i = 1; i < arr.size(); i++) {if (arr[i] > maxVal)maxVal = arr[i];}return maxVal;
}void countingSort(vector<int>& arr, int exp) {int n = arr.size();vector<int> output(n), count(10);for (int i = 0; i < n; i++)count[(arr[i] / exp) % 10]++;for (int i = 1; i < 10; i++)count[i] += count[i - 1];for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {output[count[(arr[i] / exp) % 10] - 1] = arr[i];count[(arr[i] / exp) % 10]--;}for (int i = 0; i < n; i++)arr[i] = output[i];
}void radixSort(vector<int>& arr) {int maxVal = getMax(arr);for (int exp = 1; maxVal / exp > 0; exp *= 10)countingSort(arr, exp);
}int main() {vector<int> arr = {64, 34, 25, 12, 22, 11, 90};radixSort(arr);cout << "Sorted array: ";for (int i = 0; i < arr.size(); i++)cout << arr[i] << " ";cout << endl;return 0;
}