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现在要开始重点关注名字了，名字透漏了很多信息！名字暗藏线索！
GBDT，Gradient Boosting Decision Tree: 梯度提升决策树
果然信息很丰富
梯度：意味着计算有迭代递进关系，但还不明确是怎么迭代递进的
提升：意味着前向分布式+加法模型，并且分类器之间是有相关提升的
决策树：CART决策树、C4.5、忘记名字了…
em…还是要再深挖深挖，小小的boosting，挖呀挖呀挖呀挖。。。
经过推导。。。发现，我的GBDT回归，实际就是上一篇提升树的二叉回归树…
看来可以省点儿功夫，不写代码，但可以稍微推导一下
首先，明确回归问题采用平方损失函数: L o s s ( y , f ( x ) ) = ( y − f ( x ) ) 2 Loss(y,f(x)) =(y-f(x))^2 Loss(y,f(x))=(y−f(x))2
其中，f(x) 是强分类器，且当前强分类器 f m = f m − 1 + T m ( x , θ m ) f_m = f_{m-1}+T_m(x,θ_m) fm=fm−1+Tm(x,θm)
问题来了，我们现在要求Loss最小，原本是可以直接使Loss对x求导，进而求出θ，得到强分类器的
但书上说了，有时候Loss对x求导，是无法实现的，说实话，我不知道为什么
不过，不妨碍我对GBDT进行推导
首先，梯度，是想要Loss成梯度逐步下降，那就采用让Loss在 f ( x ) = f m − 1 ( x ) f(x)=f_{m-1}(x) f(x)=fm−1(x)处进行一阶泰勒展开
则有 L o s s ( y , f ( x ) ) = L o s s ( y , f m − 1 ( x ) ) + ə L ( y , f m − 1 ( x ) ) ə f m − 1 ( x ) ∗ [ f ( x ) − f m − 1 ( x ) ] Loss(y,f(x)) = Loss(y,f_{m-1}(x))+\frac{ə_{L(y,f_{m-1}(x))}}{ə_{f_{m-1}(x)}}*[f(x)-f_{m-1}(x)] Loss(y,f(x))=Loss(y,fm−1(x))+əfm−1(x)əL(y,fm−1(x))∗[f(x)−fm−1(x)]
令 f ( x ) = f m ( x ) f(x) = f_m(x) f(x)=fm(x)，则有
L ( y , f m ( x ) ) = L ( y , f m − 1 ( x ) ) + ə L ( y , f m − 1 ( x ) ) ə f m − 1 ( x ) ∗ [ f m ( x ) − f m − 1 ( x ) ] L(y,f_m(x)) = L(y,f_{m-1}(x))+\frac{ə_{L(y,f_{m-1}(x))}}{ə_{f_{m-1}(x)}}*[f_m(x)-f_{m-1}(x)] L(y,fm(x))=L(y,fm−1(x))+əfm−1(x)əL(y,fm−1(x))∗[fm(x)−fm−1(x)]
Δ L o s s = L ( y , f m ( x ) ) − L ( y , f m − 1 ( x ) ) = ə L ( y , f m − 1 ( x ) ) ə f m − 1 ( x ) ∗ [ f m ( x ) − f m − 1 ( x ) ] ΔLoss = L(y,f_m(x)) - L(y,f_{m-1}(x))=\frac{ə_{L(y,f_{m-1}(x))}}{ə_{f_{m-1}(x)}}*[f_m(x)-f_{m-1}(x)] ΔLoss=L(y,fm(x))−L(y,fm−1(x))=əfm−1(x)əL(y,fm−1(x))∗[fm(x)−fm−1(x)]
其中 [ f m ( x ) − f m − 1 ( x ) ] = T ( x , θ m ) [f_m(x)-f_{m-1}(x)] = T(x,θ_m) [fm(x)−fm−1(x)]=T(x,θm)
要使下一次迭代时，Loss降低，则需要ΔLoss<0，那么对应的 ə L ( y , f m − 1 ( x ) ) ə f m − 1 ( x ) ∗ T ( x , θ m ) \frac{ə_{L(y,f_{m-1}(x))}}{ə_{f_{m-1}(x)}}*T(x,θ_m) əfm−1(x)əL(y,fm−1(x))∗T(x,θm)<0
那么，当 T ( x , θ m ) = − ə L ( y , f m − 1 ( x ) ) ə f m − 1 ( x ) T(x,θ_m)=-\frac{ə_{L(y,f_{m-1}(x))}}{ə_{f_{m-1}(x)}} T(x,θm)=−əfm−1(x)əL(y,fm−1(x))时，就可以保证 ə L ( y , f m − 1 ( x ) ) ə f m − 1 ( x ) ∗ T ( x , θ m ) \frac{ə_{L(y,f_{m-1}(x))}}{ə_{f_{m-1}(x)}}*T(x,θ_m) əfm−1(x)əL(y,fm−1(x))∗T(x,θm)<0
因此， T ( x , θ m ) = − ə L ( y , f m − 1 ( x ) ) ə f m − 1 ( x ) = ə ( y − f m − 1 ( x ) ) 2 ə f m − 1 ( x ) T(x,θ_m)=-\frac{ə_{L(y,f_{m-1}(x))}}{ə_{f_{m-1}(x)}}=\frac{ə_{(y-f_{m-1}(x))^2}}{ə_{f_{m-1}(x)}} T(x,θm)=−əfm−1(x)əL(y,fm−1(x))=əfm−1(x)ə(y−fm−1(x))2
为了求解简洁美观，可以 令 L o s s 为 1 2 ( y − f ( x ) ) 2 令Loss为\frac{1}{2}(y-f(x))^2 令Loss为21(y−f(x))2
这样 T ( x , θ m ) = − ə L ( y , f m − 1 ( x ) ) ə f m − 1 ( x ) = 1 2 ə ( y − f m − 1 ( x ) ) 2 ə f m − 1 ( x ) = y − f m − 1 ( x ) T(x,θ_m)=-\frac{ə_{L(y,f_{m-1}(x))}}{ə_{f_{m-1}(x)}}=\frac{\frac{1}{2}ə_{(y-f_{m-1}(x))^2}}{ə_{f_{m-1}(x)}}=y-f_{m-1}(x) T(x,θm)=−əfm−1(x)əL(y,fm−1(x))=əfm−1(x)21ə(y−fm−1(x))2=y−fm−1(x)
哦！这不就是残差嘛 r = y − f m − 1 ( x ) r = y-f_{m-1}(x) r=y−fm−1(x) ,相当于每个新的弱分类器（准确来说，应该是基函数）都应该尽可能地去拟合残差
所以啊！！！！实际上一轮的提升树，本质上就是GBDT
不管，就先这么确定，以后打脸再说…好困