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文章目录

• • @[toc]
  • • 问题描述
    • `Dijkstra`算法
    • `Dijkstra`算法的正确性
    • • 贪心选择性质
      • 最优子结构性质
    • `Dijkstra`算法应用示例
    • 时间复杂性
    • `Python`实现

个人主页：丷从心

系列专栏：贪心算法

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问题描述

• 给定一个带权有向图$G=(V,E)$，其中每条边的权是非负实数，给定$V$中的一个顶点，称为源
• 计算从源到所有其他各顶点的最短路长度

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Dijkstra算法

• Dijkstra算法是解单源最短路径问题的一个贪心算法
• 其基本思想是，设置顶点集合$S$，并不断地做贪心选择来扩充这个集合，一个顶点属于集合$S$当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知
• 初始时，$S$中仅含有源，设$u$是$G$的某一个顶点，把从源到$u$且中间只经过$S$中顶点的路称为从源到$u$的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度，用列表parent[i]记录从源到顶点$i$的最短路径上$i$的前一个顶点
• Dijkstra算法每次从$V-S$中取出具有最短特殊路长度的顶点$u$，将$u$添加到$S$中，同时对列表dist和parent做必要的修改，当dist[u] + graph[u][i] < dist[i] 时，置dist[i] = dist[u] + graph[u][i]，置parent[i] = u
• 一旦$S$包含了所有$V$中顶点，dist就记录了从源到所有其他顶点之间的最短路径长度

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Dijkstra算法的正确性

贪心选择性质

• Dijkstra算法所做的贪心选择是从$V-S$中选择具有最短特殊路径的顶点$u$，从而确定从源到$u$的最短路径长度dist[u]，从源到$u$没有更短的其他路径
• 事实上，如果存在一条从源到$u$且长度比dist[u]更短的路，设这条路初次走出$S$之外到达的顶点为$x\in V-S$，然后徘徊于$S$内外若干次，最后离开$S$到达$u$

• 在这条路径上，分别记$d(v,x)$、$d(x,u)$和$d(v,u)$为顶点$v$到顶点$x$、顶点$x$到顶点$u$和顶点$v$到顶点$u$的路长，那么dist[x]$\le d(v,x)$，$d(v,x)+d(x,u)=d(v,u)<dist[u]$，利用边权的非负性，可知$d(x,u)\ge 0$，从而推得dist[x]$<$dist[u]，此为矛盾
• 这就证明了dist[u]是从源到顶点$u$的最短路径长度

最优子结构性质

• 将添加$u$之前的$S$称为$S^{{}^{\prime }}$
• 当添加了$u$后，可能出现一条到顶点$i$的新的特殊路

• 如果这条新特殊路是经过$S^{{}^{\prime }}$到达顶点$u$，然后从$u$经一条边直接到达顶点$i$，则这种路的最短的长度是dist[u]$+$c[u][i]，此时，如果dist[u]$+$c[u][i]$<$dist[i]，则算法中用dist[u]$+$c[u][i]作为dist[i]的新值
• 如果这条新特殊路经过$S^{{}^{\prime }}$到达$u$后，不是从$u$经一条边直接到达$i$，而是回到$S^{{}^{\prime }}$中某个顶点$x$，最后才到达顶点$i$，那么由于$x$在$S^{{}^{\prime }}$中，因此$x$比$u$先加入$S$，故从源到$x$的路的长度比从源到$u$，再从$u$到$x$的路的长度小，于是当前dist[i]的值小于这条新特殊路的长度，因此，在算法中不必考虑这种路
• 由此可知，不论算法中dist[u]的值是否有变化，它总是关于当前顶点集$S$到顶点$u$的最短特殊路径长度

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Dijkstra算法应用示例

• 对下图中的有向图，应用Dijkstra算法计算从源顶点$1$到其他顶点间最短路径的过程如下表所示

迭代	$S$	$u$	dist[2]	dist[3]	dist[4]	dist[5]
初始	{ 1 } \set{1} {1}	$-$	$10$	$maxint$	$30$	$100$
$1$	{ 1 , 2 } \set{1 , 2} {1,2}	$2$	$10$	$60$	$30$	$100$
$2$	{ 1 , 2 , 3 } \set{1 , 2 , 3} {1,2,3}	$4$	$10$	$50$	$30$	$90$
$3$	{ 1 , 2 , 4 , 3 } \set{1 , 2 , 4 , 3} {1,2,4,3}	$3$	$10$	$50$	$30$	$60$
$4$	{ 1 , 2 , 4 , 3 , 5 } \set{1 , 2 , 4 , 3 , 5} {1,2,4,3,5}	$5$	$10$	$50$	$30$	$60$

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时间复杂性

• 对于一个具有$n$个顶点的带权有向图，Dijkstra算法进行二重循环，需要$O(n^2)$时间

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Python实现

import sysclass Graph:def __init__(self, vertices):self.V = verticesself.graph = [[0 for _ in range(vertices)] for _ in range(vertices)]def printSolution(self, dist, parent):for v in range(self.V):path = []curr = vwhile curr != -1:path.append(curr)curr = parent[curr]path.reverse()print((v, dist[v], path))def minDistance(self, dist, sptSet):min_value = sys.maxsizemin_index = -1for v in range(self.V):if dist[v] < min_value and not sptSet[v]:min_value = dist[v]min_index = vreturn min_indexdef dijkstra(self, src):dist = [sys.maxsize] * self.Vdist[src] = 0sptSet = [False] * self.Vparent = [-1] * self.Vfor _ in range(self.V):u = self.minDistance(dist, sptSet)sptSet[u] = Truefor v in range(self.V):if self.graph[u][v] != 0 and 0 < dist[u] + self.graph[u][v] < dist[v] and not sptSet[v]:dist[v] = dist[u] + self.graph[u][v]parent[v] = uself.printSolution(dist, parent)g = Graph(9)
g.graph = [[0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 0],[4, 0, 8, 0, 0, 0, 0, 11, 0],[0, 8, 0, 7, 0, 4, 0, 0, 2],[0, 0, 7, 0, 9, 14, 0, 0, 0],[0, 0, 0, 9, 0, 10, 0, 0, 0],[0, 0, 4, 14, 10, 0, 2, 0, 0],[0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 1, 6],[8, 11, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 7],[0, 0, 2, 0, 0, 0, 6, 7, 0]]
src = 0print(f'(顶点, 以顶点 {src} 为源的最短路径长度, 最短路径)')
print('-' * 40)g.dijkstra(src)print('-' * 40)

(顶点, 以顶点 0 为源的最短路径长度, 最短路径)
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(0, 0, [0])
(1, 4, [0, 1])
(2, 12, [0, 1, 2])
(3, 19, [0, 1, 2, 3])
(4, 21, [0, 7, 6, 5, 4])
(5, 11, [0, 7, 6, 5])
(6, 9, [0, 7, 6])
(7, 8, [0, 7])
(8, 14, [0, 1, 2, 8])
----------------------------------------

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