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https://leetcode.cn/problems/course-schedule/?envType=study-plan-v2&envId=top-100-liked

207. 课程表

你这个学期必须选修 numCourses 门课程，记为 0 到 numCourses - 1 。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。 先修课程按数组 prerequisites 给出，其中 prerequisites[i] = [ai, bi] ，表示如果要学习课程 ai 则 必须 先学习课程 bi 。

例如，先修课程对 [0, 1] 表示：想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 。
请你判断是否可能完成所有课程的学习？如果可以，返回 true ；否则，返回 false 。

示例 1：

输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0]]
输出：true
解释：总共有 2 门课程。学习课程 1之前，你需要完成课程 0 。这是可能的。

示例 2：

输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0],[0,1]]
输出：false
解释：总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要先完成​课程 0 ；并且学习课程 0 之前，你还应先完成课程 1 。这是不可能的。

提示：

1 <= numCourses <= 2000
0 <= prerequisites.length <= 5000
prerequisites[i].length == 2
0 <= ai, bi < numCourses
prerequisites[i] 中的所有课程对 互不相同

解决方案：判断是否可以完成所有课程的学习

本问题涉及到一个常见的图论问题，即检测有向图中是否存在循环。在这个场景中，课程可以被视为图的节点，而先修课程的要求可以被视为有向边。

我们的目标是：检查这个有向图是否包含一个循环。如果存在循环，意味着有些课程的先修要求彼此相互依赖，从而导致无法完成所有课程。

方法：拓扑排序

为了解决这个问题，我们可以使用拓扑排序。拓扑排序是一种对有向无环图（DAG）的顶点的线性排序，使得对于任何来自顶点 u 到顶点 v 的有向边，u 在排序中都出现在 v 之前。

如果我们在进行拓扑排序的过程中发现无法完成排序（即图中存在循环），那么就意味着无法完成所有课程的学习。

实现步骤

1. 构建图：首先，我们需要构建图的表示。通常，这可以通过邻接表来实现。
2. 计算入度：对于图中的每个节点（课程），计算进入该节点的边的数量，即该课程的先修课程数量。
3. 初始化队列：创建一个队列，用于存放所有入度为0的节点（没有先修课程的课程）。
4. 进行拓扑排序：
   • 从队列中移除一个节点（课程），并将其添加到拓扑排序的结果中。
   • 遍历从该节点出发的所有边，将与之相连的节点的入度减1。
   • 如果某个相邻节点的入度变为0，则将其加入队列。
5. 检查是否可以完成排序：如果排序的结果包含所有的课程，则返回 true；否则，返回 false。

Python 实现

下面是问题的 Python 实现，使用了拓扑排序的方法：

from collections import dequeclass Solution:def canFinish(self, numCourses: int, prerequisites: List[List[int]]) -> bool:# 构建图的邻接表表示和入度数组adj_list = [[] for _ in range(numCourses)]indegree = [0] * numCoursesfor dest, src in prerequisites:adj_list[src].append(dest)indegree[dest] += 1# 初始化队列queue = deque([i for i in range(numCourses) if indegree[i] == 0])visited = 0# 拓扑排序while queue:course = queue.popleft()visited += 1for next_course in adj_list[course]:indegree[next_course] -= 1if indegree[next_course] == 0:queue.append(next_course)# 检查是否所有课程都被访问过return visited == numCourses

性能分析

• 时间复杂度：O(N + P)，其中 N 是课程数量，P 是先修课程对的数量。
• 空间复杂度：O(N + P)，用于存储图的邻接表和入度数组。

结论

使用拓扑排序，我们可以高效地确定是否可能完成所有课程的学习。

这种方法在计算机科学的许多领域，如任务调度、数据处理等，都有广泛的应用。