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• 如何理解 最大似然估计？ 就是我们先取出一堆样本，得到一个L($\theta$) 函数，然后的话，这个是关于$\theta$ 的一个函数，那么由于存在即合理，只有概率驱动，也就是这个函数取得最大值的时候，该事件才会发生

简单题目

• 此题问的是求丢色子，求得到偶数点的概率

• 求两次都得到硬币的背面的概率

• 拿球问题

• 符合的点数是 1,5,6

MLE 在不同的分布的运用

正态分布

对于给定的数据集 {1, 3, 4, 6, 7}，我们想要估计生成这些数据的正态分布的参数 μ 的最大似然估计（MLE）。

正态分布的概率密度函数（PDF）为：

$f(x;\mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left(-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$

其中，($\mu$) 表示平均值，( ${\sigma }^2$ ) 表示方差。

对于给定的数据集，我们可以使用最大似然估计来找到最适合这些数据的参数($\mu$) 。对于正态分布，($\mu$) 的最大似然估计是数据的平均值。

因此，对于数据集 {1, 3, 4, 6, 7}，($\mu$) 的最大似然估计是这些数据的平均值：

$\hat{\mu }=\frac{1+3+4+6+7}{5}=\frac{21}{5}=4.2$

但由于选项中只有整数，我们应选择最接近 4.2 的整数。

最接近 4.2 的整数是 4。

所以，($\mu$) 的最大似然估计是 4。

指数分布

对于给定的数据集 {2, 4, 6, 8, 10}，我们想要估计一个指数分布的参数$\lambda$的最大似然估计（MLE）。

指数分布的概率密度函数（PDF）为：

$f(x;\lambda )=\lambda e^{-\lambda x}$

对于给定的数据集，我们可以使用最大似然估计来找到最适合这些数据的参数 $\lambda$.对于指数分布，$\lambda$的最大似然估计是数据的倒数的平均值。

因此，对于数据集 {2, 4, 6, 8, 10}，$\lambda$ 的最大似然估计为：

$\hat{\lambda }=\frac{n}{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}$

其中，( n ) 是数据集的大小，( $x_i$ ) 是数据集中的第 ( i ) 个数据点。

对于给定的数据集，( n = 5 )，( $su{m}_{i=1}^n{x}_i=2+4+6+8+10=30$)。

因此：

[ $\hat{\lambda }=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$]

所以，$\lambda$ 的最大似然估计为 ( $\frac{1}{6}$ )。

所以答案是：

B) 1/6

均匀分布

对于给定的数据集 {10, 15, 20, 25, 30}，我们想要估计一个在区间 (0, θ) 上的均匀分布的参数 ( $\theta$ ) 的最大似然估计（MLE）。

在均匀分布中，所有在指定区间内的值都是等可能的。因此，我们可以选择数据集中的最大值作为参数 ( \theta ) 的估计值。

因此，对于数据集 {10, 15, 20, 25, 30}，最大值是 30，因此 ( $\theta$ ) 的最大似然估计是 30。

所以答案是：

D) 30

泊松分布

对于给定的数据集 {3, 5, 7, 9, 11}，我们希望估计生成这些数据的泊松分布的参数 μ 的最大似然估计（MLE）。

泊松分布用于描述在固定时间或空间范围内随机事件发生的次数，其概率质量函数为：

$P(X=k)=\frac{e^{-\mu }{\mu }^k}{k!}$

其中，( k ) 表示事件发生的次数，( $\mu$ ) 表示平均发生次数。

对于给定的数据集，泊松分布参数( $\mu$ ) 的最大似然估计是数据的平均值。

因此，对于数据集 {3, 5, 7, 9, 11}，( $\mu$ ) 的最大似然估计是这些数据的平均值：

[ $\hat{\mu }=\frac{3+5+7+9+11}{5}=\frac{35}{5}=7$ ]

所以答案是：

D) 7