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从全连接层到卷积

多层感知机十分适合处理表格数据，其中行对应样本，列对应特征。但对于图片等数据，全连接层会导致参数过多。卷积神经网络（convolutional neural networks，CNN）是机器学习利用自然图像中一些已知结构的创造性方法。

不变性

不管检测对象出现在图像中的哪个位置，神经网络的前面几层应该对相同的图像区域具有相似的反应，即为“平移不变性”。

局部性

神经网络的前面几层应该只探索输入图像中的局部区域，而不过度在意图像中相隔较远区域的关系，这就是“局部性”原则。最终，可以聚合这些局部特征，以在整个图像级别进行预测。

多层感知机的限制

全连接层的输入和输出变为二维矩阵（含有高度和宽度）。全连接层的参数W变为4-D张量，即四维张量。假设𝑈包含偏置参数，我们可以将全连接层形式化地表示为：

隐藏层i,j位置的像素值Hi,j可以通过上述公式得到。

引入平移不变性

平移不变性。 这意味着检测对象在输入𝑋中的平移，应该仅导致隐藏表示𝐻中的平移。也就是说，𝑉和𝑈实际上不依赖于(𝑖,𝑗)的值，即[𝑉]𝑖,𝑗,𝑎,𝑏=[𝑉]𝑎,𝑏。并且𝑈是一个常数，比如𝑢。因此，我们可以简化𝐻定义为：

这就是卷积（convolution）。使用系数[𝑉]𝑎,𝑏对位置X(𝑖,𝑗)附近的像素X(𝑖+𝑎,𝑗+𝑏)进行加权得到[𝐻]𝑖,𝑗。 注意，[𝑉]𝑎,𝑏的系数比[𝑉]𝑖,𝑗,𝑎,𝑏少很多，因为前者不再依赖于图像中的位置。这就是显著的进步！ 

引入局部性

为了收集用来训练参数[𝐻]𝑖,𝑗的相关信息，我们不应偏离到距(𝑖,𝑗)很远的地方。这意味着在|𝑎|>Δ或|𝑏|>Δ的范围之外，我们可以设置[𝑉]𝑎,𝑏=0。因此，我们可以将[𝐻]𝑖,𝑗重写为：

可以理解为卷积核只在图像矩阵的一定范围内工作，超出范围后，隐藏层矩阵H[i,j]的值设为 𝑢。

总结

卷积是一个特殊的全连接层。

卷积神经网络是包含卷积层的一类特殊的神经网络。 在深度学习研究社区中，𝑉被称为卷积核（convolution kernel）或者滤波器（filter），亦或简单地称之为该卷积层的权重，通常该权重是可学习的参数。 当图像处理的局部区域很小时，卷积神经网络与多层感知机的训练差异可能是巨大的：以前，多层感知机可能需要数十亿个参数来表示网络中的一层，而现在卷积神经网络通常只需要几百个参数，而且不需要改变输入或隐藏表示的维数。 参数大幅减少的代价是，我们的特征现在是平移不变的，并且当确定每个隐藏活性值时，每一层只包含局部的信息。

卷积层

一个简单的二维卷积层例子：

使用卷积核对输入逐行逐列进行扫描，对扫描到的数值做乘法再相加，得到输出层对应的数值。 

二维卷积层

输入：X：h(高度)*w(宽度)的矩阵，卷积核W：*的矩阵，变差b：一个实数，输出Y：。卷积核W和偏置b是可学习的参数。

一维数据：文本、语言、时序序列。三维数据：视频、医学图像、气象地图。

卷积层总结

卷积层将输入和卷积核进行交叉相关（卷积运算），加上偏移b后得到输出。

卷积核W和偏移是可学习的参数。

卷积核的大小是超参数。

卷积层使参数不会随着输入的变大而变得过大。

填充和步幅

填充

若给定32x32的输入图像，应用5x5大小的卷积核。第一个卷积层输出大小为28x28(公式计算得出)，第七个卷积层输出大小为4x4。更大的卷积核可以更快地减小输出大小。

问题：卷积核较大，但不想输出减小过快？

答：填充。在输入四周添加额外的行和列。

填充行和列，输出形状为：。通常取 。当为奇数，在上下两侧填充。当为偶数，在上下某一侧多填充一行即可。

步幅

步幅指行/列的滑动步长。

若输入大小较大，卷积核较小，则需要较多卷积层才能把输出降低到较小维度。如给定输入大小为224x224，卷积核大小为5x5时，需要44层才能将输出降低到4x4。这时便可增大步幅。

指定步幅后输出形状为：。步幅不能整除时向下取整。如果输入高度和宽度可以被步幅整除：。

步幅和填充总结

填充和步幅时卷积层的超参数。

填充在输出周围添加额外的行和列以控制输出形状的减少量。

步幅时每次滑动核窗口时的行和列的步长，可以成倍减少输出形状。