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今天是《LeetCode 热题 100》系列

发车第 81 天

动态规划第 1 题

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爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

提示：

• 1 <= n <= 45

难度：❤️

解题方法

爬楼梯问题是一个经典的动态规划问题。我们可以使用动态规划的方法来解决这个问题。动态规划的基本思想是将原问题分解为子问题，然后求解子问题，最后将子问题的解组合得到原问题的解。

在爬楼梯问题中，我们可以将问题分解为以下几个子问题：

1. 爬到第1阶楼梯有多少种方法？
2. 爬到第2阶楼梯有多少种方法？
3. 爬到第3阶楼梯有多少种方法？
   …
   n. 爬到第n阶楼梯有多少种方法？

观察后发现，爬到第n阶楼梯的方法数等于爬到第n-1阶楼梯的方法数加上爬到第n-2阶楼梯的方法数。因为每次只能爬1阶或2阶，所以爬到第n阶楼梯只有两种选择：从第n-1阶爬1阶到达，或者从第n-2阶爬2阶到达。

根据这个规律，我们可以使用一个数组f来存储爬到每一阶楼梯的方法数。数组f的长度为n+2，其中f[0]表示爬到第0阶楼梯的方法数，f[1]表示爬到第1阶楼梯的方法数，以此类推，f[n]表示爬到第n阶楼梯的方法数。

接下来，我们需要初始化数组f，将f[0]设为1，表示爬到第0阶楼梯只有一种方法（即不爬）。然后，我们遍历数组f，从第1个元素开始，依次计算爬到每一阶楼梯的方法数。具体地，对于数组f中的每个元素f[i]，我们将其值更新为f[i-1]和f[i-2]的和，分别表示从第i-1阶楼梯爬1阶到达和从第i-2阶楼梯爬2阶到达的方法数之和。

最后，我们返回数组f中的最后一个元素f[n]，即为爬到第n阶楼梯的方法数。

Code

public class Solution {public int climbStairs(int n) {// 创建一个长度为n+2的数组f，用于存储爬到每一阶楼梯的方法数int[] f = new int[n + 2];// 将数组f的所有元素初始化为0Arrays.fill(f, 0);// 将数组f的第一个元素设为1，表示爬到第0阶楼梯只有一种方法（即不爬）f[0] = 1;// 遍历数组f，从第1个元素开始，依次计算爬到每一阶楼梯的方法数for (int i = 0; i < n; i++) {// 将当前元素的值更新为前两个元素的和，分别表示从第i-1阶楼梯爬1阶到达和从第i-2阶楼梯爬2阶到达的方法数之和f[i + 1] += f[i];f[i + 2] += f[i];}// 返回数组f中的最后一个元素，即为爬到第n阶楼梯的方法数return f[n];}
}