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佛洛伊德最短路径算法 讲解 以及 C++实现

• 算法的特点：
  弗洛伊德算法(Floyd)是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或有向图或负权（但不可存在负权回路)的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。

• 算法的思路

通过Floyd计算图G=(V,E)中各个顶点的最短路径时，需要引入两个矩阵，矩阵S中的元素a[i][j]表示顶点i(第i个顶点)到顶点j(第j个顶点)的距离。矩阵P中的元素b[i][j]，表示顶点i到顶点j经过了b[i][j]记录的值所表示的顶点。

假设图G中顶点个数为N，则需要对矩阵D和矩阵P进行N次更新。初始时，矩阵D中顶点a[i][j]的距离为顶点i到顶点j的权值；如果i和j不相邻，则a[i][j]=∞，矩阵P的值为顶点b[i][j]的j的值。 接下来开始，对矩阵D进行N次更新。第1次更新时，如果”a[i][j]的距离” > “a[i][0]+a[0][j]”(a[i][0]+a[0][j]表示”i与j之间经过第1个顶点的距离”)，则更新a[i][j]为”a[i][0]+a[0][j]”,更新b[i][j]=b[i][0]。 同理，第k次更新时，如果”a[i][j]的距离” > “a[i][k-1]+a[k-1][j]”，则更新a[i][j]为”a[i][k-1]+a[k-1][j]”,b[i][j]=b[i][k-1]。

涉及到了两个矩阵

• 距离矩阵
  • 比较好理解，存储的是任意两点之间的最小距离
• 路径矩阵
  • 路径矩阵的第i行j列代表的时顶点i与顶点j之间最短距离的中间节点。
  • 例如i,j两个点
    • 最短的边为i-j，则路径矩阵的path[i][j]=i
    • 最短的边为i-k-j，则path[i][j]=k,path[i][k]=i;
    • 最短的边为i-k-h-j，则path[i][j]=h,path[i][h]=k,path[i][k]=i;
  • 在实现对应的路径输出时进行寻路输出

3、Floyd算法的实例过程

第一步，我们先初始化两个矩阵，得到下图两个矩阵：

、

第二步，以v1为中阶，更新两个矩阵：
发现，a[1][0]+a[0][6] < a[1][6] 和a[6][0]+a[0][1] < a[6][1]，所以我们只需要矩阵D和矩阵P，结果如下：

通过矩阵P，我发现v2–v7的最短路径是：v2–v1–v7

第三步：以v2作为中介，来更新我们的两个矩阵，使用同样的原理，扫描整个矩阵，得到如下图的结果：

• 总结

FLoyd算法其实就是每次选择一个中介点，更新根据这个中节点可以连接起来的两个点的距离信息，在path中记录对应的路径

代码

代码设计了一个FloydWay类，实现了有向图和无向图的两种版本
写代码的时候偷了懒，路径的输出是倒着的

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF=1e6;
//
class FloydWay{public:int vertex_num;void out_matrix(vector<vector<int>>&matrix)const{for(int i=0;i<matrix.size();i++){for(int u=0;u<matrix[i].size();u++){if(matrix[i][u]==INF||matrix[i][u]==-1){cout<<left<<setw(5)<<"/";}else{cout<<left<<setw(5)<<matrix[i][u];}}cout<<endl;}}void out_path_single(int i,int u){int k=u;cout<<k<<"<-";while(k!=i){k=path_matrix[i][k];cout<<k;if(k!=i){cout<<"<-";continue;}else{cout<<" | min dist: "<<min_dist_matirx[i][u];cout<<endl;}}}void out_all_path(){for(int i=0;i<vertex_num;i++){for(int u=i+1;u<vertex_num;u++){cout<<i<<"-"<<u<<": ";out_path_single(i,u);}}}vector<vector<int>>graph_matrix;//图矩阵vector<vector<int>>min_dist_matirx;//最短距离矩阵vector<vector<int>>path_matrix;//路径矩阵FloydWay(vector<vector<int>>graph_matri):graph_matrix(graph_matri),vertex_num(graph_matri.size()){//初始化最短距离矩阵,路径矩阵min_dist_matirx=vector<vector<int>>(vertex_num,vector<int>(vertex_num,INF));path_matrix=vector<vector<int>>(vertex_num,vector<int>(vertex_num,-1));for(int i=0;i<vertex_num;i++){for(int j=0;j<vertex_num;j++){min_dist_matirx[i][j]=graph_matrix[i][j];path_matrix[i][j]=i;}}cout<<"初始的距离矩阵"<<endl;out_matrix(min_dist_matirx);cout<<"初始的路径矩阵"<<endl;out_matrix(path_matrix);}void floyd_undirected(){//在无向图中的算法cout<<"###无向图###"<<endl;for(int i=0;i<vertex_num;i++){//第一层循环选择中间点for(int u=0;u<vertex_num;u++){//第二、三曾循环遍历顶点for(int k=0;k<vertex_num;k++){if(min_dist_matirx[u][k]>min_dist_matirx[i][u]+min_dist_matirx[i][k]){min_dist_matirx[u][k]=min_dist_matirx[i][u]+min_dist_matirx[i][k];min_dist_matirx[k][u]=min_dist_matirx[i][u]+min_dist_matirx[i][k];path_matrix[u][k]=i;path_matrix[k][u]=i;cout<<u<<"到"<<k<<"(双向)以"<<i<<"为中间节点可以取得更小值"<<endl;cout<<"更新后的距离矩阵："<<endl;out_matrix(min_dist_matirx);cout<<"更新后的路径矩阵："<<endl;out_matrix(path_matrix);}}}}cout<<"最终的距离矩阵："<<endl;out_matrix(min_dist_matirx);cout<<"最终的路径矩阵："<<endl;out_matrix(path_matrix);out_all_path();}void floyd_directed(){//在有向图中的算法cout<<"###有向图###"<<endl;for(int i=0;i<vertex_num;i++){//第一层循环选择中间点for(int u=0;u<vertex_num;u++){//第二、三曾循环遍历顶点for(int k=0;k<vertex_num;k++){if(min_dist_matirx[u][k]>min_dist_matirx[u][i]+min_dist_matirx[i][k]){min_dist_matirx[u][k]=min_dist_matirx[u][i]+min_dist_matirx[i][k];path_matrix[u][k]=i;cout<<u<<"到"<<k<<"(单向)以"<<i<<"为中间节点可以取得更小值"<<endl;cout<<"更新后的距离矩阵："<<endl;out_matrix(min_dist_matirx);cout<<"更新后的路径矩阵："<<endl;out_matrix(path_matrix);}}}}cout<<"最终的距离矩阵："<<endl;out_matrix(min_dist_matirx);cout<<"最终的路径矩阵："<<endl;out_matrix(path_matrix);out_all_path();}
};
int main(){vector<vector<int>>graph_undirected={{0, 1, 4, INF},{1, 0, INF, 1},{4, INF, 0, 1},{INF, 1, 1, 0}};vector<vector<int>>graph_directed={{0, 1, 4, INF},{INF, 0, INF, 1},{INF, INF, 0, INF},{INF, INF, 1, 0}};FloydWay(graph_undirected).floyd_undirected();FloydWay(graph_directed).floyd_directed();
}

运行结果